SetOptions[SelectedNotebook[],PrintingStyleEnvironment->"Printout",ShowSyntaxStyles->True]

(*Importing RISC packages*)

<<RISC`qMultiSum`
<<RISC`qGeneratingFunctions`

qMultiSum Package version 2.54
written by Axel Riese
Copyright Research Institute for Symbolic Computation (RISC),
Johannes Kepler University, Linz, Austria

qGeneratingFunctions Package version 1.9.1
written by Christoph Koutschan
Copyright Research Institute for Symbolic Computation (RISC),
Johannes Kepler University, Linz, Austria

(*Initial values of (OverTilde[T])_M, using the original definition*)

MyQP[A_,q_,n_]:=(∏_(k=0)^(n-1))(1-A (q^k));

ClearAll[M,N1,N2,N3,N4,N5];

For[M=0,M≤10,M++,
S=(∑_(N3=0)^(Floor[(M/2)]))(∑_(N1=0)^(M-2N3))(∑_(N2=0)^(M-2N3-N1))(∑_(N4=0)^(M-2N3-N1-N2))(((-1))^(N1+N2))(z1^(N1+N3+N4))(z2^(N2+N3+(M-N1-N2-2N3-N4)))(q^((N1^2)+(N2^2)+(N3^2)+(N4^2)+(((M-N1-N2-2N3-N4))^2)+N1 N2+N1 N3+N1 (M-N1-N2-2N3-N4)+N2 N3+N2 N4+N3 N4+N3 (M-N1-N2-2N3-N4)+N4 (M-N1-N2-2N3-N4)-N1-N2))/(MyQP[(q^2),(q^2),N1]MyQP[(q^2),(q^2),N2]MyQP[(q^2),(q^2),N3]MyQP[(q^2),(q^2),N4]MyQP[(q^2),(q^2),(M-N1-N2-2N3-N4)]);
Print[Factor[S]];
]

(*Initial values of (OverTilde[T])_M, using the rewritten formula*)

MyQP[A_,q_,n_]:=(∏_(k=0)^(n-1))(1-A (q^k));

ClearAll[M,N1,N2,N3,N4,N5];

SList={};

For[M=0,M≤10,M++,
S=(∑_(N3=0)^(Floor[(M/2)]))(∑_(N1=0)^(M-2N3))(∑_(N2=0)^(M-2N3-N1))(((-1))^(N1+N2))(z1^(N1+N3))(z2^(M-N1-N3))(q^((M^2)-N1-M N1+(N1^2)-N2-2 M N2+2 N1 N2+2 (N2^2)-3 M N3+2 N1 N3+4 N2 N3+3 (N3^2)))MyQP[-z1 (z2^(-1))(q^(1+2N2+2N3-M)),(q^2),M-N1-N2-2N3]/(MyQP[(q^2),(q^2),N1]MyQP[(q^2),(q^2),N2]MyQP[(q^2),(q^2),N3]MyQP[(q^2),(q^2),M-N1-N2-2N3]);
Print[Factor[S]];
SList=Append[SList,Factor[S]];
]

(*Recurrence for (OverTilde[T])_M, with M odd*)

ClearAll[M,N1,N2,N3,N4,N5,z];
summand=(((-1))^(N1+N2))(z^(N1+N3))(q^(-N1-M N1+(N1^2)-N2-2 M N2+2 N1 N2+2 (N2^2)-3 M N3+2 N1 N3+4 N2 N3+3 (N3^2)))qPochhammer[-z (q^(1+2N2+2N3-M)),(q^2),M-N1-N2-2N3]/(qPochhammer[(q^2),(q^2),N1]qPochhammer[(q^2),(q^2),N2]qPochhammer[(q^2),(q^2),N3]qPochhammer[(q^2),(q^2),M-N1-N2-2N3])/.{M->2M+1};
stru=qFindStructureSet[summand,{M},{N1,N2,N3},{2},{2,2,2},{1,1,1},qProtocol->True];
rec=qFindRecurrence[summand,{M},{N1,N2,N3},{2},{2,2,2},{1,1,1},qProtocol->True,StructSet->stru[[1]]];
sumrec=qSumRecurrence[rec]

(*Verifying the recurrence for odd M*)

ClearAll[M,A,z];
MyQP[A_,q_,n_]:=(∏_(k=0)^(n-1))(1-A (q^k));
A[k_,M_]:=(((z^k)(q^(-3(M+k)(M+k+1)))MyQP[z (q^(2M+1)),(q^2),k]MyQP[(z^(-1)) (q^(2M+1)),(q^2),k])/((q^(-3M(M+1)))MyQP[(q^(2M+2)),-q,2k]));(-(q^4) ((q^(1+2 M))-z) ((q^(3+2 M))-z) ((q^(6+2 M))-z) (z^3) (-1+(q^(1+2 M)) z) (-1+(q^(3+2 M)) z) (-1+(q^(5+2 M)) z) A[0,M]-(q^(6 M)) ((q^(3+2 M))-z) (z^2) (-1+(q^(3+2 M)) z) (-1+(q^(5+2 M)) z) ((q^(13+4 M))+(q^(15+4 M))+(q^(17+4 M))-(q^(5+2 M)) z-(q^(7+2 M)) z-(q^(8+2 M)) z-(q^(9+2 M)) z-(q^(10+2 M)) z-(q^(11+2 M)) z-(q^(12+2 M)) z-(q^(14+2 M)) z-(q^(16+2 M)) z-(q^(20+6 M)) z+2 (q^(21+6 M)) z-2 (q^(22+6 M)) z+(q^(23+6 M)) z+(z^2)+(q^2) (z^2)+(q^4) (z^2)+(q^6) (z^2)+(q^8) (z^2)+(q^10) (z^2)+(q^(12+4 M)) (z^2)+(q^(14+4 M)) (z^2)+(q^(17+4 M)) (z^2)-(q^(7+2 M)) (z^3)-(q^(9+2 M)) (z^3)-(q^(11+2 M)) (z^3)) A[1,M]+(q^(4+12 M)) z (-1+(q^(5+2 M)) z) (-(q^(22+6 M))-(q^(24+6 M))-(q^(26+6 M))+(q^(12+4 M)) z+(q^(14+4 M)) z+(q^(15+4 M)) z+2 (q^(16+4 M)) z+2 (q^(17+4 M)) z+(q^(18+4 M)) z+3 (q^(19+4 M)) z+(q^(20+4 M)) z+3 (q^(21+4 M)) z+2 (q^(23+4 M)) z+(q^(25+4 M)) z+(q^(29+8 M)) z-2 (q^(30+8 M)) z+3 (q^(31+8 M)) z-4 (q^(32+8 M)) z+2 (q^(33+8 M)) z-2 (q^(34+8 M)) z-(q^(36+8 M)) z-(q^(5+2 M)) (z^2)-2 (q^(7+2 M)) (z^2)-3 (q^(9+2 M)) (z^2)-(q^(10+2 M)) (z^2)-4 (q^(11+2 M)) (z^2)-(q^(12+2 M)) (z^2)-4 (q^(13+2 M)) (z^2)-2 (q^(14+2 M)) (z^2)-3 (q^(15+2 M)) (z^2)-2 (q^(16+2 M)) (z^2)-2 (q^(17+2 M)) (z^2)-2 (q^(18+2 M)) (z^2)-(q^(19+2 M)) (z^2)-(q^(20+2 M)) (z^2)-(q^(22+2 M)) (z^2)-(q^(19+6 M)) (z^2)-2 (q^(21+6 M)) (z^2)-2 (q^(23+6 M)) (z^2)-2 (q^(24+6 M)) (z^2)+2 (q^(25+6 M)) (z^2)-4 (q^(26+6 M)) (z^2)+4 (q^(27+6 M)) (z^2)-3 (q^(28+6 M)) (z^2)+3 (q^(29+6 M)) (z^2)+(q^(31+6 M)) (z^2)+(q^(32+6 M)) (z^2)+2 (q^(37+10 M)) (z^2)-3 (q^(38+10 M)) (z^2)+5 (q^(39+10 M)) (z^2)-3 (q^(40+10 M)) (z^2)+2 (q^(41+10 M)) (z^2)+(z^3)+(q^2) (z^3)+2 (q^4) (z^3)+2 (q^6) (z^3)+3 (q^8) (z^3)+2 (q^10) (z^3)+2 (q^12) (z^3)+(q^14) (z^3)+(q^16) (z^3)+(q^(12+4 M)) (z^3)+3 (q^(14+4 M)) (z^3)+5 (q^(16+4 M)) (z^3)+5 (q^(18+4 M)) (z^3)+(q^(19+4 M)) (z^3)+3 (q^(20+4 M)) (z^3)+(q^(21+4 M)) (z^3)+2 (q^(22+4 M)) (z^3)+(q^(23+4 M)) (z^3)-(q^(24+4 M)) (z^3)+(q^(25+4 M)) (z^3)-(q^(26+4 M)) (z^3)+(q^(28+8 M)) (z^3)-(q^(29+8 M)) (z^3)-3 (q^(32+8 M)) (z^3)+2 (q^(33+8 M)) (z^3)-4 (q^(34+8 M)) (z^3)+(q^(35+8 M)) (z^3)-2 (q^(36+8 M)) (z^3)-(q^(7+2 M)) (z^4)-2 (q^(9+2 M)) (z^4)-3 (q^(11+2 M)) (z^4)-3 (q^(13+2 M)) (z^4)-3 (q^(15+2 M)) (z^4)-2 (q^(17+2 M)) (z^4)-(q^(19+2 M)) (z^4)-(q^(21+6 M)) (z^4)-2 (q^(23+6 M)) (z^4)+(q^(24+6 M)) (z^4)-(q^(25+6 M)) (z^4)+(q^(27+6 M)) (z^4)+(q^(28+6 M)) (z^4)+(q^(30+6 M)) (z^4)+(q^(16+4 M)) (z^5)+(q^(18+4 M)) (z^5)+(q^(20+4 M)) (z^5)) A[2,M]-(q^(16+18 M)) ((q^(28+6 M))-(q^(16+4 M)) z-(q^(18+4 M)) z-(q^(19+4 M)) z-(q^(20+4 M)) z-2 (q^(21+4 M)) z-(q^(22+4 M)) z-2 (q^(23+4 M)) z-2 (q^(25+4 M)) z-(q^(27+4 M)) z-(q^(35+8 M)) z+3 (q^(36+8 M)) z-2 (q^(37+8 M)) z+3 (q^(38+8 M)) z+2 (q^(40+8 M)) z+(q^(42+8 M)) z+(q^(7+2 M)) (z^2)+2 (q^(9+2 M)) (z^2)+3 (q^(11+2 M)) (z^2)+(q^(12+2 M)) (z^2)+4 (q^(13+2 M)) (z^2)+(q^(14+2 M)) (z^2)+4 (q^(15+2 M)) (z^2)+2 (q^(16+2 M)) (z^2)+3 (q^(17+2 M)) (z^2)+2 (q^(18+2 M)) (z^2)+2 (q^(19+2 M)) (z^2)+2 (q^(20+2 M)) (z^2)+(q^(21+2 M)) (z^2)+(q^(22+2 M)) (z^2)+(q^(24+2 M)) (z^2)+(q^(23+6 M)) (z^2)+2 (q^(25+6 M)) (z^2)+(q^(27+6 M)) (z^2)+2 (q^(28+6 M)) (z^2)-3 (q^(29+6 M)) (z^2)+3 (q^(30+6 M)) (z^2)-5 (q^(31+6 M)) (z^2)+(q^(32+6 M)) (z^2)-4 (q^(33+6 M)) (z^2)-2 (q^(34+6 M)) (z^2)-(q^(35+6 M)) (z^2)-3 (q^(36+6 M)) (z^2)-(q^(38+6 M)) (z^2)-3 (q^(43+10 M)) (z^2)+3 (q^(44+10 M)) (z^2)-7 (q^(45+10 M)) (z^2)+5 (q^(46+10 M)) (z^2)-6 (q^(47+10 M)) (z^2)+3 (q^(48+10 M)) (z^2)-2 (q^(49+10 M)) (z^2)+(q^(50+10 M)) (z^2)-(z^3)-(q^2) (z^3)-2 (q^4) (z^3)-3 (q^6) (z^3)-3 (q^8) (z^3)-3 (q^10) (z^3)-3 (q^12) (z^3)-2 (q^14) (z^3)-(q^16) (z^3)-(q^18) (z^3)-(q^(14+4 M)) (z^3)-3 (q^(16+4 M)) (z^3)-6 (q^(18+4 M)) (z^3)-6 (q^(20+4 M)) (z^3)-(q^(21+4 M)) (z^3)-6 (q^(22+4 M)) (z^3)-(q^(23+4 M)) (z^3)-2 (q^(24+4 M)) (z^3)-2 (q^(25+4 M)) (z^3)+(q^(26+4 M)) (z^3)-(q^(27+4 M)) (z^3)+2 (q^(28+4 M)) (z^3)-(q^(29+4 M)) (z^3)+2 (q^(30+4 M)) (z^3)+(q^(32+4 M)) (z^3)-(q^(32+8 M)) (z^3)+(q^(33+8 M)) (z^3)+(q^(35+8 M)) (z^3)+5 (q^(36+8 M)) (z^3)-(q^(37+8 M)) (z^3)+9 (q^(38+8 M)) (z^3)-(q^(39+8 M)) (z^3)+6 (q^(40+8 M)) (z^3)+3 (q^(41+8 M)) (z^3)+3 (q^(43+8 M)) (z^3)-(q^(44+8 M)) (z^3)-(q^(51+12 M)) (z^3)+4 (q^(52+12 M)) (z^3)-5 (q^(53+12 M)) (z^3)+5 (q^(54+12 M)) (z^3)-4 (q^(55+12 M)) (z^3)+(q^(56+12 M)) (z^3)+(q^(7+2 M)) (z^4)+2 (q^(9+2 M)) (z^4)+4 (q^(11+2 M)) (z^4)+5 (q^(13+2 M)) (z^4)+6 (q^(15+2 M)) (z^4)+5 (q^(17+2 M)) (z^4)+4 (q^(19+2 M)) (z^4)+2 (q^(21+2 M)) (z^4)+(q^(23+2 M)) (z^4)+(q^(23+6 M)) (z^4)+3 (q^(25+6 M)) (z^4)-(q^(26+6 M)) (z^4)+3 (q^(27+6 M)) (z^4)-(q^(28+6 M)) (z^4)+(q^(29+6 M)) (z^4)-2 (q^(30+6 M)) (z^4)-2 (q^(31+6 M)) (z^4)-2 (q^(32+6 M)) (z^4)-3 (q^(33+6 M)) (z^4)-2 (q^(34+6 M)) (z^4)-2 (q^(35+6 M)) (z^4)-(q^(36+6 M)) (z^4)-(q^(37+6 M)) (z^4)-(q^(42+10 M)) (z^4)-(q^(43+10 M)) (z^4)-4 (q^(45+10 M)) (z^4)+2 (q^(46+10 M)) (z^4)-3 (q^(47+10 M)) (z^4)+(q^(48+10 M)) (z^4)-(q^(16+4 M)) (z^5)-2 (q^(18+4 M)) (z^5)-3 (q^(20+4 M)) (z^5)-3 (q^(22+4 M)) (z^5)-2 (q^(24+4 M)) (z^5)-(q^(26+4 M)) (z^5)-(q^(34+8 M)) (z^5)+(q^(35+8 M)) (z^5)+(q^(36+8 M)) (z^5)+(q^(37+8 M)) (z^5)+(q^(38+8 M)) (z^5)+2 (q^(39+8 M)) (z^5)+(q^(41+8 M)) (z^5)+(q^(27+6 M)) (z^6)) A[3,M]-(q^(36+24 M)) ((q^(20+4 M))+(q^(23+4 M))+(q^(25+4 M))-(q^(40+8 M))-(q^(42+8 M))-(q^(44+8 M))-(q^(9+2 M)) z-2 (q^(11+2 M)) z-2 (q^(13+2 M)) z-(q^(14+2 M)) z-2 (q^(15+2 M)) z-(q^(16+2 M)) z-2 (q^(17+2 M)) z-(q^(18+2 M)) z-(q^(19+2 M)) z-(q^(20+2 M)) z-(q^(22+2 M)) z+(q^(30+6 M)) z+2 (q^(31+6 M)) z+4 (q^(33+6 M)) z+(q^(34+6 M)) z+2 (q^(35+6 M)) z+4 (q^(36+6 M)) z+3 (q^(38+6 M)) z+(q^(40+6 M)) z+(q^(49+10 M)) z-2 (q^(50+10 M)) z+3 (q^(51+10 M)) z-4 (q^(52+10 M)) z+2 (q^(53+10 M)) z-2 (q^(54+10 M)) z-(q^(56+10 M)) z+(z^2)+(q^2) (z^2)+2 (q^4) (z^2)+2 (q^6) (z^2)+3 (q^8) (z^2)+2 (q^10) (z^2)+2 (q^12) (z^2)+(q^14) (z^2)+(q^16) (z^2)+(q^(18+4 M)) (z^2)+2 (q^(20+4 M)) (z^2)-(q^(21+4 M)) (z^2)+2 (q^(22+4 M)) (z^2)-(q^(24+4 M)) (z^2)-2 (q^(26+4 M)) (z^2)-4 (q^(28+4 M)) (z^2)-3 (q^(30+4 M)) (z^2)-2 (q^(32+4 M)) (z^2)-(q^(34+4 M)) (z^2)-(q^(38+8 M)) (z^2)-(q^(39+8 M)) (z^2)-3 (q^(40+8 M)) (z^2)-4 (q^(42+8 M)) (z^2)-(q^(43+8 M)) (z^2)+(q^(44+8 M)) (z^2)-4 (q^(45+8 M)) (z^2)+4 (q^(46+8 M)) (z^2)-2 (q^(47+8 M)) (z^2)+(q^(48+8 M)) (z^2)+(q^(50+8 M)) (z^2)+2 (q^(59+12 M)) (z^2)-3 (q^(60+12 M)) (z^2)+5 (q^(61+12 M)) (z^2)-3 (q^(62+12 M)) (z^2)+2 (q^(63+12 M)) (z^2)-(q^(9+2 M)) (z^3)-2 (q^(11+2 M)) (z^3)-3 (q^(13+2 M)) (z^3)-3 (q^(15+2 M)) (z^3)-3 (q^(17+2 M)) (z^3)-2 (q^(19+2 M)) (z^3)-(q^(21+2 M)) (z^3)+(q^(30+6 M)) (z^3)+(q^(31+6 M)) (z^3)+2 (q^(32+6 M)) (z^3)+3 (q^(33+6 M)) (z^3)+2 (q^(34+6 M)) (z^3)+3 (q^(35+6 M)) (z^3)+2 (q^(36+6 M)) (z^3)+2 (q^(37+6 M)) (z^3)+(q^(38+6 M)) (z^3)+(q^(39+6 M)) (z^3)+(q^(49+10 M)) (z^3)-(q^(50+10 M)) (z^3)+(q^(51+10 M)) (z^3)-2 (q^(52+10 M)) (z^3)-(q^(54+10 M)) (z^3)-(q^(55+10 M)) (z^3)+(q^(20+4 M)) (z^4)+(q^(22+4 M)) (z^4)+(q^(24+4 M)) (z^4)-(q^(40+8 M)) (z^4)-(q^(41+8 M)) (z^4)-(q^(43+8 M)) (z^4)) A[4,M]-(q^(64+30 M)) (-1+(q^(5+M))) (1+(q^(5+M))) (1+(q^(10+2 M))) (-(q^(11+2 M))-(q^(13+2 M))-(q^(16+2 M))+(q^(34+6 M))+(q^(36+6 M))+(q^(38+6 M))+z+(q^2) z+(q^4) z+(q^6) z+(q^8) z+(q^10) z+(q^(22+4 M)) z-(q^(23+4 M)) z-(q^(24+4 M)) z-2 (q^(26+4 M)) z-(q^(28+4 M)) z-(q^(30+4 M)) z-(q^(32+4 M)) z-(q^(45+8 M)) z+2 (q^(46+8 M)) z-2 (q^(47+8 M)) z+(q^(48+8 M)) z-(q^(11+2 M)) (z^2)-(q^(13+2 M)) (z^2)-(q^(15+2 M)) (z^2)+(q^(34+6 M)) (z^2)+(q^(36+6 M)) (z^2)+(q^(37+6 M)) (z^2)) A[5,M]+(q^(100+36 M)) (-1+(q^(5+M))) (1+(q^(5+M))) (-1+(q^(6+M))) (1+(q^(6+M))) (1+(q^(10+2 M))) (1+(q^(12+2 M))) (-1+(q^(13+2 M))) (1+(q^(13+2 M))) A[6,M])//Simplify

(*Recurrence for (OverTilde[T])_M, with M even*)

ClearAll[M,N1,N2,N3,N4,N5,z];
summand=(((-1))^(N1+N2))(z^(N1+N3))(q^(-N1-M N1+(N1^2)-N2-2 M N2+2 N1 N2+2 (N2^2)-3 M N3+2 N1 N3+4 N2 N3+3 (N3^2)))qPochhammer[-z (q^(1+2N2+2N3-M)),(q^2),M-N1-N2-2N3]/(qPochhammer[(q^2),(q^2),N1]qPochhammer[(q^2),(q^2),N2]qPochhammer[(q^2),(q^2),N3]qPochhammer[(q^2),(q^2),M-N1-N2-2N3])/.{M->2M};
stru=qFindStructureSet[summand,{M},{N1,N2,N3},{2},{2,2,2},{1,1,1},qProtocol->True];
rec=qFindRecurrence[summand,{M},{N1,N2,N3},{2},{2,2,2},{1,1,1},qProtocol->True,StructSet->stru[[1]]];
sumrec=qSumRecurrence[rec]

(*Verifying the recurrence for even M*)

ClearAll[M,A,z];
MyQP[A_,q_,n_]:=(∏_(k=0)^(n-1))(1-A (q^k));
A[k_,M_]:=(((z^k)(q^(-3(((M+k))^2)))MyQP[z (q^(2M)),(q^2),k]MyQP[(z^(-1)) (q^(2M)),(q^2),k])/((q^(-3(M^2)))MyQP[-(q^(2M+1)),-q,2k]));((q^7) ((q^(2+2 M))-z) ((q^(5+2 M))-z) (z^3) (-(q^(2 M))+z) (-1+(q^(2 M)) z) (-1+(q^(2+2 M)) z) (-1+(q^(4+2 M)) z) A[0,M]-(q^(6 M)) ((q^(2+2 M))-z) (z^2) (-1+(q^(2+2 M)) z) (-1+(q^(4+2 M)) z) ((q^(11+4 M))+(q^(13+4 M))+(q^(15+4 M))-(q^(4+2 M)) z-(q^(6+2 M)) z-(q^(7+2 M)) z-(q^(8+2 M)) z-(q^(9+2 M)) z-(q^(10+2 M)) z-(q^(11+2 M)) z-(q^(13+2 M)) z-(q^(15+2 M)) z-(q^(17+6 M)) z+2 (q^(18+6 M)) z-2 (q^(19+6 M)) z+(q^(20+6 M)) z+(z^2)+(q^2) (z^2)+(q^4) (z^2)+(q^6) (z^2)+(q^8) (z^2)+(q^10) (z^2)+(q^(10+4 M)) (z^2)+(q^(12+4 M)) (z^2)+(q^(15+4 M)) (z^2)-(q^(6+2 M)) (z^3)-(q^(8+2 M)) (z^3)-(q^(10+2 M)) (z^3)) A[1,M]+(q^(1+12 M)) z (-1+(q^(4+2 M)) z) (-(q^(19+6 M))-(q^(21+6 M))-(q^(23+6 M))+(q^(10+4 M)) z+(q^(12+4 M)) z+(q^(13+4 M)) z+2 (q^(14+4 M)) z+2 (q^(15+4 M)) z+(q^(16+4 M)) z+3 (q^(17+4 M)) z+(q^(18+4 M)) z+3 (q^(19+4 M)) z+2 (q^(21+4 M)) z+(q^(23+4 M)) z+(q^(25+8 M)) z-2 (q^(26+8 M)) z+3 (q^(27+8 M)) z-4 (q^(28+8 M)) z+2 (q^(29+8 M)) z-2 (q^(30+8 M)) z-(q^(32+8 M)) z-(q^(4+2 M)) (z^2)-2 (q^(6+2 M)) (z^2)-3 (q^(8+2 M)) (z^2)-(q^(9+2 M)) (z^2)-4 (q^(10+2 M)) (z^2)-(q^(11+2 M)) (z^2)-4 (q^(12+2 M)) (z^2)-2 (q^(13+2 M)) (z^2)-3 (q^(14+2 M)) (z^2)-2 (q^(15+2 M)) (z^2)-2 (q^(16+2 M)) (z^2)-2 (q^(17+2 M)) (z^2)-(q^(18+2 M)) (z^2)-(q^(19+2 M)) (z^2)-(q^(21+2 M)) (z^2)-(q^(16+6 M)) (z^2)-2 (q^(18+6 M)) (z^2)-2 (q^(20+6 M)) (z^2)-2 (q^(21+6 M)) (z^2)+2 (q^(22+6 M)) (z^2)-4 (q^(23+6 M)) (z^2)+4 (q^(24+6 M)) (z^2)-3 (q^(25+6 M)) (z^2)+3 (q^(26+6 M)) (z^2)+(q^(28+6 M)) (z^2)+(q^(29+6 M)) (z^2)+2 (q^(32+10 M)) (z^2)-3 (q^(33+10 M)) (z^2)+5 (q^(34+10 M)) (z^2)-3 (q^(35+10 M)) (z^2)+2 (q^(36+10 M)) (z^2)+(z^3)+(q^2) (z^3)+2 (q^4) (z^3)+2 (q^6) (z^3)+3 (q^8) (z^3)+2 (q^10) (z^3)+2 (q^12) (z^3)+(q^14) (z^3)+(q^16) (z^3)+(q^(10+4 M)) (z^3)+3 (q^(12+4 M)) (z^3)+5 (q^(14+4 M)) (z^3)+5 (q^(16+4 M)) (z^3)+(q^(17+4 M)) (z^3)+3 (q^(18+4 M)) (z^3)+(q^(19+4 M)) (z^3)+2 (q^(20+4 M)) (z^3)+(q^(21+4 M)) (z^3)-(q^(22+4 M)) (z^3)+(q^(23+4 M)) (z^3)-(q^(24+4 M)) (z^3)+(q^(24+8 M)) (z^3)-(q^(25+8 M)) (z^3)-3 (q^(28+8 M)) (z^3)+2 (q^(29+8 M)) (z^3)-4 (q^(30+8 M)) (z^3)+(q^(31+8 M)) (z^3)-2 (q^(32+8 M)) (z^3)-(q^(6+2 M)) (z^4)-2 (q^(8+2 M)) (z^4)-3 (q^(10+2 M)) (z^4)-3 (q^(12+2 M)) (z^4)-3 (q^(14+2 M)) (z^4)-2 (q^(16+2 M)) (z^4)-(q^(18+2 M)) (z^4)-(q^(18+6 M)) (z^4)-2 (q^(20+6 M)) (z^4)+(q^(21+6 M)) (z^4)-(q^(22+6 M)) (z^4)+(q^(24+6 M)) (z^4)+(q^(25+6 M)) (z^4)+(q^(27+6 M)) (z^4)+(q^(14+4 M)) (z^5)+(q^(16+4 M)) (z^5)+(q^(18+4 M)) (z^5)) A[2,M]-(q^(10+18 M)) ((q^(25+6 M))-(q^(14+4 M)) z-(q^(16+4 M)) z-(q^(17+4 M)) z-(q^(18+4 M)) z-2 (q^(19+4 M)) z-(q^(20+4 M)) z-2 (q^(21+4 M)) z-2 (q^(23+4 M)) z-(q^(25+4 M)) z-(q^(31+8 M)) z+3 (q^(32+8 M)) z-2 (q^(33+8 M)) z+3 (q^(34+8 M)) z+2 (q^(36+8 M)) z+(q^(38+8 M)) z+(q^(6+2 M)) (z^2)+2 (q^(8+2 M)) (z^2)+3 (q^(10+2 M)) (z^2)+(q^(11+2 M)) (z^2)+4 (q^(12+2 M)) (z^2)+(q^(13+2 M)) (z^2)+4 (q^(14+2 M)) (z^2)+2 (q^(15+2 M)) (z^2)+3 (q^(16+2 M)) (z^2)+2 (q^(17+2 M)) (z^2)+2 (q^(18+2 M)) (z^2)+2 (q^(19+2 M)) (z^2)+(q^(20+2 M)) (z^2)+(q^(21+2 M)) (z^2)+(q^(23+2 M)) (z^2)+(q^(20+6 M)) (z^2)+2 (q^(22+6 M)) (z^2)+(q^(24+6 M)) (z^2)+2 (q^(25+6 M)) (z^2)-3 (q^(26+6 M)) (z^2)+3 (q^(27+6 M)) (z^2)-5 (q^(28+6 M)) (z^2)+(q^(29+6 M)) (z^2)-4 (q^(30+6 M)) (z^2)-2 (q^(31+6 M)) (z^2)-(q^(32+6 M)) (z^2)-3 (q^(33+6 M)) (z^2)-(q^(35+6 M)) (z^2)-3 (q^(38+10 M)) (z^2)+3 (q^(39+10 M)) (z^2)-7 (q^(40+10 M)) (z^2)+5 (q^(41+10 M)) (z^2)-6 (q^(42+10 M)) (z^2)+3 (q^(43+10 M)) (z^2)-2 (q^(44+10 M)) (z^2)+(q^(45+10 M)) (z^2)-(z^3)-(q^2) (z^3)-2 (q^4) (z^3)-3 (q^6) (z^3)-3 (q^8) (z^3)-3 (q^10) (z^3)-3 (q^12) (z^3)-2 (q^14) (z^3)-(q^16) (z^3)-(q^18) (z^3)-(q^(12+4 M)) (z^3)-3 (q^(14+4 M)) (z^3)-6 (q^(16+4 M)) (z^3)-6 (q^(18+4 M)) (z^3)-(q^(19+4 M)) (z^3)-6 (q^(20+4 M)) (z^3)-(q^(21+4 M)) (z^3)-2 (q^(22+4 M)) (z^3)-2 (q^(23+4 M)) (z^3)+(q^(24+4 M)) (z^3)-(q^(25+4 M)) (z^3)+2 (q^(26+4 M)) (z^3)-(q^(27+4 M)) (z^3)+2 (q^(28+4 M)) (z^3)+(q^(30+4 M)) (z^3)-(q^(28+8 M)) (z^3)+(q^(29+8 M)) (z^3)+(q^(31+8 M)) (z^3)+5 (q^(32+8 M)) (z^3)-(q^(33+8 M)) (z^3)+9 (q^(34+8 M)) (z^3)-(q^(35+8 M)) (z^3)+6 (q^(36+8 M)) (z^3)+3 (q^(37+8 M)) (z^3)+3 (q^(39+8 M)) (z^3)-(q^(40+8 M)) (z^3)-(q^(45+12 M)) (z^3)+4 (q^(46+12 M)) (z^3)-5 (q^(47+12 M)) (z^3)+5 (q^(48+12 M)) (z^3)-4 (q^(49+12 M)) (z^3)+(q^(50+12 M)) (z^3)+(q^(6+2 M)) (z^4)+2 (q^(8+2 M)) (z^4)+4 (q^(10+2 M)) (z^4)+5 (q^(12+2 M)) (z^4)+6 (q^(14+2 M)) (z^4)+5 (q^(16+2 M)) (z^4)+4 (q^(18+2 M)) (z^4)+2 (q^(20+2 M)) (z^4)+(q^(22+2 M)) (z^4)+(q^(20+6 M)) (z^4)+3 (q^(22+6 M)) (z^4)-(q^(23+6 M)) (z^4)+3 (q^(24+6 M)) (z^4)-(q^(25+6 M)) (z^4)+(q^(26+6 M)) (z^4)-2 (q^(27+6 M)) (z^4)-2 (q^(28+6 M)) (z^4)-2 (q^(29+6 M)) (z^4)-3 (q^(30+6 M)) (z^4)-2 (q^(31+6 M)) (z^4)-2 (q^(32+6 M)) (z^4)-(q^(33+6 M)) (z^4)-(q^(34+6 M)) (z^4)-(q^(37+10 M)) (z^4)-(q^(38+10 M)) (z^4)-4 (q^(40+10 M)) (z^4)+2 (q^(41+10 M)) (z^4)-3 (q^(42+10 M)) (z^4)+(q^(43+10 M)) (z^4)-(q^(14+4 M)) (z^5)-2 (q^(16+4 M)) (z^5)-3 (q^(18+4 M)) (z^5)-3 (q^(20+4 M)) (z^5)-2 (q^(22+4 M)) (z^5)-(q^(24+4 M)) (z^5)-(q^(30+8 M)) (z^5)+(q^(31+8 M)) (z^5)+(q^(32+8 M)) (z^5)+(q^(33+8 M)) (z^5)+(q^(34+8 M)) (z^5)+2 (q^(35+8 M)) (z^5)+(q^(37+8 M)) (z^5)+(q^(24+6 M)) (z^6)) A[3,M]-(q^(27+24 M)) ((q^(18+4 M))+(q^(21+4 M))+(q^(23+4 M))-(q^(36+8 M))-(q^(38+8 M))-(q^(40+8 M))-(q^(8+2 M)) z-2 (q^(10+2 M)) z-2 (q^(12+2 M)) z-(q^(13+2 M)) z-2 (q^(14+2 M)) z-(q^(15+2 M)) z-2 (q^(16+2 M)) z-(q^(17+2 M)) z-(q^(18+2 M)) z-(q^(19+2 M)) z-(q^(21+2 M)) z+(q^(27+6 M)) z+2 (q^(28+6 M)) z+4 (q^(30+6 M)) z+(q^(31+6 M)) z+2 (q^(32+6 M)) z+4 (q^(33+6 M)) z+3 (q^(35+6 M)) z+(q^(37+6 M)) z+(q^(44+10 M)) z-2 (q^(45+10 M)) z+3 (q^(46+10 M)) z-4 (q^(47+10 M)) z+2 (q^(48+10 M)) z-2 (q^(49+10 M)) z-(q^(51+10 M)) z+(z^2)+(q^2) (z^2)+2 (q^4) (z^2)+2 (q^6) (z^2)+3 (q^8) (z^2)+2 (q^10) (z^2)+2 (q^12) (z^2)+(q^14) (z^2)+(q^16) (z^2)+(q^(16+4 M)) (z^2)+2 (q^(18+4 M)) (z^2)-(q^(19+4 M)) (z^2)+2 (q^(20+4 M)) (z^2)-(q^(22+4 M)) (z^2)-2 (q^(24+4 M)) (z^2)-4 (q^(26+4 M)) (z^2)-3 (q^(28+4 M)) (z^2)-2 (q^(30+4 M)) (z^2)-(q^(32+4 M)) (z^2)-(q^(34+8 M)) (z^2)-(q^(35+8 M)) (z^2)-3 (q^(36+8 M)) (z^2)-4 (q^(38+8 M)) (z^2)-(q^(39+8 M)) (z^2)+(q^(40+8 M)) (z^2)-4 (q^(41+8 M)) (z^2)+4 (q^(42+8 M)) (z^2)-2 (q^(43+8 M)) (z^2)+(q^(44+8 M)) (z^2)+(q^(46+8 M)) (z^2)+2 (q^(53+12 M)) (z^2)-3 (q^(54+12 M)) (z^2)+5 (q^(55+12 M)) (z^2)-3 (q^(56+12 M)) (z^2)+2 (q^(57+12 M)) (z^2)-(q^(8+2 M)) (z^3)-2 (q^(10+2 M)) (z^3)-3 (q^(12+2 M)) (z^3)-3 (q^(14+2 M)) (z^3)-3 (q^(16+2 M)) (z^3)-2 (q^(18+2 M)) (z^3)-(q^(20+2 M)) (z^3)+(q^(27+6 M)) (z^3)+(q^(28+6 M)) (z^3)+2 (q^(29+6 M)) (z^3)+3 (q^(30+6 M)) (z^3)+2 (q^(31+6 M)) (z^3)+3 (q^(32+6 M)) (z^3)+2 (q^(33+6 M)) (z^3)+2 (q^(34+6 M)) (z^3)+(q^(35+6 M)) (z^3)+(q^(36+6 M)) (z^3)+(q^(44+10 M)) (z^3)-(q^(45+10 M)) (z^3)+(q^(46+10 M)) (z^3)-2 (q^(47+10 M)) (z^3)-(q^(49+10 M)) (z^3)-(q^(50+10 M)) (z^3)+(q^(18+4 M)) (z^4)+(q^(20+4 M)) (z^4)+(q^(22+4 M)) (z^4)-(q^(36+8 M)) (z^4)-(q^(37+8 M)) (z^4)-(q^(39+8 M)) (z^4)) A[4,M]-(q^(52+30 M)) (-1+(q^(9+2 M))) (1+(q^(9+2 M))) (-(q^(10+2 M))-(q^(12+2 M))-(q^(15+2 M))+(q^(31+6 M))+(q^(33+6 M))+(q^(35+6 M))+z+(q^2) z+(q^4) z+(q^6) z+(q^8) z+(q^10) z+(q^(20+4 M)) z-(q^(21+4 M)) z-(q^(22+4 M)) z-2 (q^(24+4 M)) z-(q^(26+4 M)) z-(q^(28+4 M)) z-(q^(30+4 M)) z-(q^(41+8 M)) z+2 (q^(42+8 M)) z-2 (q^(43+8 M)) z+(q^(44+8 M)) z-(q^(10+2 M)) (z^2)-(q^(12+2 M)) (z^2)-(q^(14+2 M)) (z^2)+(q^(31+6 M)) (z^2)+(q^(33+6 M)) (z^2)+(q^(34+6 M)) (z^2)) A[5,M]+(q^(85+36 M)) (-1+(q^(6+M))) (1+(q^(6+M))) (-1+(q^(9+2 M))) (1+(q^(9+2 M))) (-1+(q^(11+2 M))) (1+(q^(11+2 M))) (1+(q^(12+2 M))) A[6,M])//Simplify

(*Verifying the Rogers-Ramanujan type identity*)

MyQP[A_,q_,n_]:=(∏_(k=0)^(n-1))(1-A (q^k));
f[k_]:=QPochhammer[(q^k),(q^k)];

ClearAll[M,N1,N2,N3,N4,N5,N6,z1,z2];

SumMax=5;
PowerMax=20;

S1=Normal[Series[(∑_(N1=0)^SumMax)(∑_(N2=0)^SumMax)(∑_(N3=0)^SumMax)(∑_(N4=0)^SumMax)(∑_(N5=0)^SumMax)(∑_(N6=0)^SumMax)(((-1))^(N1+N2+N6))(z1^(N1+N3+N4+N6))(z2^(N2+N3+N5+N6))(q^((N1^2)+(N2^2)+(N3^2)+(N4^2)+(N5^2)+(N6^2)+N1 N2+N1 N3+N1 N5+N1 N6+N2 N3+N2 N4+N2 N6+N3 N4+N3 N5+2N3 N6+N4 N5+N4 N6+N5 N6-(N1+N2+N6)))/(MyQP[(q^2),(q^2),N1]MyQP[(q^2),(q^2),N2]MyQP[(q^2),(q^2),N3]MyQP[(q^2),(q^2),N4]MyQP[(q^2),(q^2),N5]MyQP[(q^2),(q^2),N6]),{q,0,PowerMax}]];
S2=Normal[Series[((QPochhammer[z1 z2,-q])/(QPochhammer[-q,(q^2)]))(∑_(M=0)^SumMax)(((q^(M^2))MyQP[(z1^2),(q^2),M]MyQP[(z2^2),(q^2),M])/(MyQP[(q^2),(q^2),M]MyQP[z1 z2,-q,2M]))-((QPochhammer[-z1 z2,-q])/(QPochhammer[-q,(q^2)]))(∑_(M=0)^SumMax)(((z1+z2)(q^((M^2)+2M))MyQP[(z1^2),(q^2),M]MyQP[(z2^2),(q^2),M])/(MyQP[(q^2),(q^2),M]MyQP[-z1 z2,-q,2M+1])),{q,0,PowerMax}]];
S1-S2//Simplify

MyQP[A_,q_,n_]:=(∏_(k=0)^(n-1))(1-A (q^k));
f[k_]:=QPochhammer[(q^k),(q^k)];

ClearAll[M,N1,N2,N3,N4,N5,N6,z1,z2];

SumMax=5;
PowerMax=20;

z2=1;

S1=Normal[Series[(∑_(N1=0)^SumMax)(∑_(N2=0)^SumMax)(∑_(N3=0)^SumMax)(∑_(N4=0)^SumMax)(∑_(N5=0)^SumMax)(∑_(N6=0)^SumMax)(((-1))^(N1+N2+N6))(z1^(N1+N3+N4+N6))(z2^(N2+N3+N5+N6))(q^((N1^2)+(N2^2)+(N3^2)+(N4^2)+(N5^2)+(N6^2)+N1 N2+N1 N3+N1 N5+N1 N6+N2 N3+N2 N4+N2 N6+N3 N4+N3 N5+2N3 N6+N4 N5+N4 N6+N5 N6-(N1+N2+N6)))/(MyQP[(q^2),(q^2),N1]MyQP[(q^2),(q^2),N2]MyQP[(q^2),(q^2),N3]MyQP[(q^2),(q^2),N4]MyQP[(q^2),(q^2),N5]MyQP[(q^2),(q^2),N6]),{q,0,PowerMax}]];
S2=Normal[Series[((QPochhammer[z1 ,-q])/(QPochhammer[-q,(q^2)]))-((QPochhammer[-z1 ,-q])/(QPochhammer[-q,(q^2)])),{q,0,PowerMax}]];
S1-S2//Simplify

MyQP[A_,q_,n_]:=(∏_(k=0)^(n-1))(1-A (q^k));
f[k_]:=QPochhammer[(q^k),(q^k)];

ClearAll[M,N1,N2,N3,N4,N5,N6,z1,z2];

SumMax=5;
PowerMax=20;

z2=-1;

S1=Normal[Series[(∑_(N1=0)^SumMax)(∑_(N2=0)^SumMax)(∑_(N3=0)^SumMax)(∑_(N4=0)^SumMax)(∑_(N5=0)^SumMax)(∑_(N6=0)^SumMax)(((-1))^(N1+N2+N6))(z1^(N1+N3+N4+N6))(z2^(N2+N3+N5+N6))(q^((N1^2)+(N2^2)+(N3^2)+(N4^2)+(N5^2)+(N6^2)+N1 N2+N1 N3+N1 N5+N1 N6+N2 N3+N2 N4+N2 N6+N3 N4+N3 N5+2N3 N6+N4 N5+N4 N6+N5 N6-(N1+N2+N6)))/(MyQP[(q^2),(q^2),N1]MyQP[(q^2),(q^2),N2]MyQP[(q^2),(q^2),N3]MyQP[(q^2),(q^2),N4]MyQP[(q^2),(q^2),N5]MyQP[(q^2),(q^2),N6]),{q,0,PowerMax}]];
S2=Normal[Series[((QPochhammer[-z1 ,-q])/(QPochhammer[-q,(q^2)]))+((QPochhammer[z1 ,-q])/(QPochhammer[-q,(q^2)])),{q,0,PowerMax}]];
S1-S2//Simplify